Teorema kecil Fermat

Dalam penerbitan ini, kami akan mempertimbangkan salah satu teorem utama dalam teori integer -  Teorema kecil Fermatdinamakan sempena ahli matematik Perancis Pierre de Fermat. Kami juga akan menganalisis contoh penyelesaian masalah untuk menyatukan bahan yang dibentangkan.

Pernyataan teorem

1. Permulaan

If p ialah nombor perdana a ialah integer yang tidak boleh dibahagikan dengan pkemudian a^p-1 - 1 dibahagikan dengan p.

Ia secara rasmi ditulis seperti ini: a^p-1 ≡ 1 (terhadap p).

Catatan: Nombor perdana ialah nombor asli yang hanya boleh dibahagi dengan XNUMX dan dirinya sendiri tanpa baki.

Sebagai contoh:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• nombor 15 dibahagikan dengan 5 tanpa baki.

2. Alternatif

If p ialah nombor perdana, a sebarang integer, maka a^p sebanding dengan a modul p.

a^p ≡ a (terhadap p)

Sejarah mencari bukti

Pierre de Fermat merumuskan teorem pada tahun 1640, tetapi tidak membuktikannya sendiri. Kemudian, ini dilakukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, seorang ahli falsafah Jerman, ahli logik, ahli matematik, dan lain-lain. Ia dipercayai bahawa dia sudah mempunyai bukti pada tahun 1683, walaupun ia tidak pernah diterbitkan. Perlu diperhatikan bahawa Leibniz menemui teorem itu sendiri, tanpa mengetahui bahawa ia telah dirumuskan lebih awal.

The first proof of the theorem was published in 1736, and it belongs to the Swiss, German and mathematician and mechanic, Leonhard Euler. Fermat’s Little Theorem is a special case of Euler’s theorem.

Contoh masalah

Cari baki nombor 2¹² on 12.

Penyelesaian

Mari bayangkan satu nombor 2¹² as 2-2¹¹.

11 ialah nombor perdana, oleh itu, dengan teorem kecil Fermat kita dapat:

2¹¹ ≡ 2 (terhadap 11).

Oleh itu, 2-2¹¹ ≡ 4 (terhadap 11).

Jadi nombor 2¹² dibahagikan dengan 12 dengan baki yang sama dengan 4.