Sistem persamaan algebra linear

Dalam penerbitan ini, kami akan mempertimbangkan takrifan sistem persamaan algebra linear (SLAE), bagaimana rupanya, jenis yang ada, dan juga cara membentangkannya dalam bentuk matriks, termasuk yang dilanjutkan.

Definisi sistem persamaan linear

Sistem persamaan algebra linear (atau singkatannya "SLAU") ialah sistem yang biasanya kelihatan seperti ini:

• m ialah bilangan persamaan;
• n ialah bilangan pembolehubah.
• x₁, x₂,…, x_n – tidak diketahui;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – pekali untuk yang tidak diketahui;
• b₁, b₂,…, b_m – ahli percuma.

Indeks pekali (a_ij) dibentuk seperti berikut:

• i ialah bilangan persamaan linear;
• j ialah bilangan pembolehubah yang dirujuk oleh pekali.

penyelesaian SLAU – nombor sedemikian c₁, C₂,…, c_n , dalam tetapan yang bukannya x₁, x₂,…, x_n, semua persamaan sistem akan bertukar menjadi identiti.

Jenis-jenis SLAU

1. Homogen – semua ahli percuma sistem adalah sama dengan sifar (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogen – jika syarat di atas tidak dipenuhi.
3. Square – bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, iaitu m = n.

   

4. Kurang ditentukan – bilangan yang tidak diketahui adalah lebih besar daripada bilangan persamaan.

   

5. diganti Terdapat lebih banyak persamaan daripada pembolehubah.

   

Bergantung pada bilangan penyelesaian, SLAE boleh:

1. bersama mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. Lebih-lebih lagi, jika ia unik, sistem itu dipanggil pasti, jika terdapat beberapa penyelesaian, ia dipanggil tidak tentu.

   

   SLAE di atas adalah bersama, kerana terdapat sekurang-kurangnya satu penyelesaian: x = 2, y = 3.

2. tidak serasi Sistem tidak mempunyai penyelesaian.

   

   Sisi kanan persamaan adalah sama, tetapi sisi kiri tidak. Oleh itu, tiada penyelesaian.

Notasi matriks sistem

SLAE boleh diwakili dalam bentuk matriks:

AX = B

• A ialah matriks yang dibentuk oleh pekali bagi yang tidak diketahui:

  

• X – lajur pembolehubah:

  

• B – ruangan ahli percuma:

  

Contoh

Kami mewakili sistem persamaan di bawah dalam bentuk matriks:

Menggunakan borang di atas, kami menyusun matriks utama dengan pekali, lajur dengan ahli yang tidak diketahui dan bebas.

Rekod lengkap sistem persamaan yang diberikan dalam bentuk matriks:

Matriks SLAE lanjutan

Jika kepada matriks sistem A tambah lajur ahli percuma di sebelah kanan B, memisahkan data dengan bar menegak, anda mendapat matriks lanjutan SLAE.

Untuk contoh di atas, ia kelihatan seperti ini:

– penetapan matriks lanjutan.