Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa semula jadi

Dalam penerbitan ini, kami akan mempertimbangkan cara nombor kompleks boleh dinaikkan kepada kuasa (termasuk menggunakan formula De Moivre). Bahan teori disertakan dengan contoh untuk pemahaman yang lebih baik.

Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa

Pertama, ingat bahawa nombor kompleks mempunyai bentuk umum: z = a + bi (bentuk algebra).

Sekarang kita boleh meneruskan terus kepada penyelesaian masalah.

Nombor segi empat sama

Kita boleh mewakili darjah sebagai produk daripada faktor yang sama, dan kemudian mencari produk mereka (sambil mengingati itu i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Contoh 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Anda juga boleh menggunakan, iaitu kuasa dua jumlah:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Catatan: Dengan cara yang sama, jika perlu, formula untuk kuasa dua perbezaan, kubus hasil tambah / perbezaan, dan lain-lain boleh diperolehi.

Ijazah ke-n

Naikkan nombor kompleks z dalam bentuk n lebih mudah jika ia diwakili dalam bentuk trigonometri.

Ingat bahawa, secara umum, tatatanda nombor kelihatan seperti ini: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Untuk eksponen, anda boleh gunakan Formula De Moivre (dinamakan demikian sempena ahli matematik Inggeris Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formula diperoleh dengan menulis dalam bentuk trigonometri (modul didarab, dan hujah ditambah).

2 Contoh

Naikkan nombor kompleks z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) ke tahap kelapan.

Penyelesaian

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).