Mengeluarkan punca nombor kompleks

Dalam penerbitan ini, kita akan melihat bagaimana anda boleh mengambil punca nombor kompleks, dan juga bagaimana ini boleh membantu dalam menyelesaikan persamaan kuadratik yang diskriminasinya kurang daripada sifar.

Mengeluarkan punca nombor kompleks

Punca kuasa dua

Seperti yang kita ketahui, adalah mustahil untuk mengambil punca nombor nyata negatif. Tetapi apabila ia datang kepada nombor kompleks, tindakan ini boleh dilakukan. Mari kita fikirkan.

Katakan kita ada nombor z = -9. Untuk √-9 terdapat dua akar:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Mari kita semak keputusan yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan z² =-9, tidak lupa juga i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Oleh itu, kami telah membuktikannya -3i и 3i ialah akar √-9.

Punca nombor negatif biasanya ditulis seperti ini:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i dan lain-lain.

Akar kepada kuasa n

Katakan kita diberi persamaan bentuk z = ⁿ√w… Ia ada n akar (z₀, Daripada₁, Daripada₂,…, z_n-1), yang boleh dikira menggunakan formula di bawah:

|w| ialah modul nombor kompleks w;

φ - hujahnya

k ialah parameter yang mengambil nilai: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Persamaan kuadratik dengan punca kompleks

Mengeluarkan punca nombor negatif mengubah idea biasa uXNUMXbuXNUMXb. Sekiranya diskriminasi (D) adalah kurang daripada sifar, maka tidak boleh ada punca sebenar, tetapi ia boleh diwakili sebagai nombor kompleks.

Contoh

Mari kita selesaikan persamaan x² – 8x + 20 = 0.

Penyelesaian

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, tetapi kita masih boleh mengambil punca diskriminasi negatif:

√D = √-16 = ±4i

Sekarang kita boleh mengira akar:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Oleh itu, persamaan x² – 8x + 20 = 0 mempunyai dua akar konjugasi kompleks:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i