Contents [show]
Dalam penerbitan ini, kami akan mempertimbangkan definisi pangkat matriks, serta kaedah yang boleh didapati. Kami juga akan menganalisis contoh untuk menunjukkan aplikasi teori dalam amalan.
Menentukan pangkat sesuatu matriks
Kedudukan matriks ialah pangkat sistem baris atau lajurnya. Mana-mana matriks mempunyai kedudukan baris dan lajurnya, yang sama antara satu sama lain.
Kedudukan sistem baris ialah bilangan maksimum baris bebas linear. Kedudukan sistem lajur ditentukan dengan cara yang sama.
Nota:
- Kedudukan matriks sifar (ditandakan dengan simbol “θ“) daripada sebarang saiz adalah sifar.
- Kedudukan mana-mana vektor baris bukan sifar atau vektor lajur adalah sama dengan satu.
- Jika matriks sebarang saiz mengandungi sekurang-kurangnya satu elemen yang tidak sama dengan sifar, maka pangkatnya tidak kurang daripada satu.
- Kedudukan matriks tidak lebih besar daripada dimensi minimumnya.
- Transformasi asas yang dilakukan pada matriks tidak mengubah kedudukannya.
Mencari pangkat matriks
Kaedah Fringing Minor
Kedudukan matriks adalah sama dengan susunan maksimum bukan sifar.
Algoritma adalah seperti berikut: cari bawah umur dari urutan terendah hingga yang tertinggi. Jika kecil ntertib ke tidak sama dengan sifar, dan semua yang berikutnya (n+1) adalah sama dengan 0, jadi pangkat matriks ialah n.
Contoh
Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita ambil contoh praktikal dan cari pangkat matriks A di bawah, menggunakan kaedah sempadan bawah umur.
Penyelesaian
Kami berurusan dengan matriks 4 × 4, oleh itu, kedudukannya tidak boleh lebih tinggi daripada 4. Selain itu, terdapat unsur bukan sifar dalam matriks, yang bermaksud kedudukannya tidak kurang daripada satu. Jadi mari kita mulakan:
1. Mula menyemak bawah umur perintah kedua. Sebagai permulaan, kami mengambil dua baris lajur pertama dan kedua.
Kecil sama dengan sifar.
Oleh itu, kita beralih ke minor seterusnya (lajur pertama kekal, dan bukannya yang kedua kita mengambil yang ketiga).
Kecil ialah 54≠0, jadi pangkat matriks adalah sekurang-kurangnya dua.
Catatan: Jika bawah umur ini ternyata sama dengan sifar, kami akan menyemak lebih lanjut gabungan berikut:
Jika perlu, penghitungan boleh diteruskan dengan cara yang sama dengan rentetan:
- 1 dan 3;
- 1 dan 4;
- 2 dan 3;
- 2 dan 4;
- 3 dan 4.
Jika semua bawah umur urutan kedua adalah sama dengan sifar, maka pangkat matriks akan sama dengan satu.
2. Kami berjaya hampir serta-merta untuk mencari kanak-kanak bawah umur yang sesuai dengan kami. Jadi mari kita beralih kepada bawah umur perintah ketiga.
Kepada minor yang ditemui pada susunan kedua, yang memberikan hasil bukan sifar, kami menambah satu baris dan salah satu lajur yang diserlahkan dalam warna hijau (kita mulakan dari yang kedua).
Anak di bawah umur ternyata sifar.
Oleh itu, kami menukar lajur kedua kepada yang keempat. Dan pada percubaan kedua, kami berjaya mencari minor yang tidak sama dengan sifar, yang bermaksud bahawa pangkat matriks tidak boleh kurang daripada 3.
Catatan: jika keputusan ternyata menjadi sifar sekali lagi, bukannya baris kedua, kami akan meneruskan baris keempat dan meneruskan pencarian untuk anak bawah umur yang "baik".
3. Sekarang tinggal untuk menentukan bawah umur perintah keempat berdasarkan apa yang ditemui tadi. Dalam kes ini, ia adalah yang sepadan dengan penentu matriks.
Minor bersamaan dengan 144≠0. Ini bermakna bahawa pangkat matriks A sama dengan 4.
Pengurangan matriks kepada bentuk berperingkat
Kedudukan matriks langkah adalah sama dengan bilangan baris bukan sifarnya. Iaitu, semua yang perlu kita lakukan ialah membawa matriks ke bentuk yang sesuai, sebagai contoh, menggunakan , yang, seperti yang kita nyatakan di atas, tidak mengubah pangkatnya.
Contoh
Cari pangkat matriks B di bawah. Kami tidak mengambil contoh yang terlalu rumit, kerana matlamat utama kami adalah semata-mata untuk menunjukkan penggunaan kaedah dalam amalan.
Penyelesaian
1. Pertama, tolak dua kali ganda pertama daripada baris kedua.
2. Sekarang tolak baris pertama daripada baris ketiga, didarab dengan empat.
Oleh itu, kami mendapat matriks langkah di mana bilangan baris bukan sifar adalah sama dengan dua, oleh itu pangkatnya juga sama dengan 2.