Dalam penerbitan ini, kami akan mempertimbangkan apakah kaedah Gaussian, mengapa ia diperlukan, dan apakah prinsipnya. Kami juga akan menunjukkan menggunakan contoh praktikal bagaimana kaedah itu boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Penerangan kaedah Gauss
Kaedah Gauss ialah kaedah klasik penghapusan berurutan pembolehubah yang digunakan untuk menyelesaikan . Ia dinamakan sempena ahli matematik Jerman Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Tetapi pertama-tama, mari kita ingat bahawa SLAU boleh:
- mempunyai satu penyelesaian tunggal;
- mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga;
- tidak serasi, iaitu tiada penyelesaian.
Faedah praktikal
Kaedah Gauss ialah cara terbaik untuk menyelesaikan SLAE yang merangkumi lebih daripada tiga persamaan linear, serta sistem yang bukan segi empat sama.
Prinsip kaedah Gauss
Kaedah tersebut merangkumi langkah-langkah berikut:
- lurus – matriks tambahan yang sepadan dengan sistem persamaan, dikurangkan dengan cara di atas baris ke bentuk segi tiga atas (berlangkah), iaitu di bawah pepenjuru utama hendaklah hanya elemen yang sama dengan sifar.
- kembali – dalam matriks yang terhasil, unsur-unsur di atas pepenjuru utama juga ditetapkan kepada sifar (pandangan segi tiga bawah).
Contoh penyelesaian SLAE
Mari kita selesaikan sistem persamaan linear di bawah menggunakan kaedah Gauss.
Penyelesaian
1. Sebagai permulaan, kami membentangkan SLAE dalam bentuk matriks yang diperluaskan.
2. Sekarang tugas kami adalah untuk menetapkan semula semua elemen di bawah pepenjuru utama. Tindakan selanjutnya bergantung pada matriks tertentu, di bawah kami akan menerangkan tindakan yang berkenaan dengan kes kami. Mula-mula, kami menukar baris, dengan itu meletakkan elemen pertama mereka dalam tertib menaik.
3. Tolak dari baris kedua dua kali yang pertama, dan dari yang ketiga - tiga kali ganda yang pertama.
4. Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.
5. Tolak baris kedua daripada baris pertama, dan pada masa yang sama bahagikan baris ketiga dengan -10.
6. Tahap pertama selesai. Sekarang kita perlu mendapatkan elemen nol di atas pepenjuru utama. Untuk melakukan ini, tolak yang ketiga didarab dengan 7 dari baris pertama, dan tambahkan yang ketiga didarab dengan 5 kepada yang kedua.
7. Matriks dikembangkan akhir kelihatan seperti ini:
8. Ia sepadan dengan sistem persamaan:
Jawapan: akar SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.