Apakah had bagi sesuatu fungsi

Dalam penerbitan ini, kami akan mempertimbangkan salah satu konsep utama analisis matematik - had fungsi: definisinya, serta pelbagai penyelesaian dengan contoh praktikal.

Menentukan had sesuatu fungsi

Had fungsi – nilai yang cenderung kepada nilai fungsi ini apabila hujahnya cenderung kepada titik had.

Had rekod:

• had ditunjukkan oleh ikon lim;
• di bawah ia ditambah nilai yang cenderung kepada argumen (pembolehubah) fungsi. Biasanya ini x, tetapi tidak semestinya, contohnya:x→1″;
• maka fungsi itu sendiri ditambah di sebelah kanan, sebagai contoh:

  

Oleh itu, rekod akhir had kelihatan seperti ini (dalam kes kami):

Membaca seperti "had fungsi kerana x cenderung kepada perpaduan".

x→ 1 – ini bermakna “x” secara konsisten mengambil nilai-nilai yang menghampiri perpaduan secara tak terhingga, tetapi tidak akan pernah bertepatan dengannya (ia tidak akan dicapai).

Had keputusan

Dengan nombor yang diberikan

Mari selesaikan had di atas. Untuk melakukan ini, cuma gantikan unit dalam fungsi (kerana x→1):

Oleh itu, untuk menyelesaikan had tersebut, mula-mula kita cuba menggantikan nombor yang diberikan ke dalam fungsi di bawahnya (jika x cenderung kepada nombor tertentu).

Dengan infiniti

Dalam kes ini, hujah fungsi meningkat tanpa terhingga, iaitu, "X" cenderung kepada infiniti (∞). Sebagai contoh:

If x→∞, maka fungsi yang diberikan cenderung kepada tolak infiniti (-∞), kerana:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 dsb.

Satu lagi contoh yang lebih kompleks

Untuk menyelesaikan had ini, juga, hanya meningkatkan nilai x dan lihat "tingkah laku" fungsi dalam kes ini.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Justeru, untuk "X"cenderung kepada infiniti, fungsi x² +3x –6 tumbuh selama-lamanya.

Dengan ketidakpastian (x cenderung kepada infiniti)

Dalam kes ini, kita bercakap tentang had, apabila fungsinya adalah pecahan, pengangka dan penyebutnya adalah polinomial. di mana "X" cenderung kepada infiniti.

Contoh: mari kita kira had di bawah.

Penyelesaian

Ungkapan dalam kedua-dua pengangka dan penyebut cenderung kepada infiniti. Ia boleh diandaikan bahawa dalam kes ini penyelesaiannya adalah seperti berikut:

Walau bagaimanapun, tidak semuanya begitu mudah. Untuk menyelesaikan had kita perlu melakukan perkara berikut:

1. Cari x kepada kuasa tertinggi untuk pengangka (dalam kes kami, ia adalah dua).

2. Begitu juga, kita takrifkan x kepada kuasa tertinggi untuk penyebut (juga sama dengan dua).

3. Sekarang kita bahagikan kedua-dua pengangka dan penyebut dengan x dalam ijazah senior. Dalam kes kami, dalam kedua-dua kes – dalam kedua, tetapi jika mereka berbeza, kami harus mengambil tahap tertinggi.

4. Dalam keputusan yang terhasil, semua pecahan cenderung kepada sifar, oleh itu jawapannya ialah 1/2.

Dengan ketidakpastian (x cenderung kepada nombor tertentu)

Kedua-dua pengangka dan penyebut adalah polinomial, bagaimanapun, "X" cenderung kepada nombor tertentu, bukan kepada infiniti.

Dalam kes ini, kami menutup mata secara bersyarat kepada fakta bahawa penyebutnya adalah sifar.

Contoh: Mari cari had fungsi di bawah.

Penyelesaian

1. Pertama, mari kita gantikan nombor 1 ke dalam fungsi, yang "X". Kami mendapat ketidakpastian bentuk yang kami pertimbangkan.

2. Seterusnya, kita menguraikan pengangka dan penyebut kepada faktor. Untuk melakukan ini, anda boleh menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan, jika ia sesuai, atau.

Dalam kes kami, akar bagi ungkapan dalam pengangka (2x² – 5x + 3 = 0) ialah nombor 1 dan 1,5. Oleh itu, ia boleh diwakili sebagai: 2(x-1)(x-1,5).

Penyebut (x–1) pada mulanya adalah mudah.

3. Kami mendapat had yang diubah suai:

4. Pecahan boleh dikurangkan dengan (x–1):

5. Ia kekal hanya untuk menggantikan nombor 1 dalam ungkapan yang diperoleh di bawah had: